# 错位加减法

## 适用范围
- **多步乘除**


## 基本原理
所有数取三位数，分子分母同时扩大或缩小相同倍，数值不变，加减数值越小，越精确。

## 题型讲解

### 1. A/B 型（一步除法，去分母）
将分母化为整十、整百、整千。

 例1

$$ \frac{54321}{12345} \approx \frac{543}{123} $$

通过把分子变成100来简化计算，123变成100，即分母减去了23。23 是前两位12的2倍再减1（前一位的1倍）得到，分子作同样的倍数变化即可，则：
$$ 543 - 54 \times 2 + 5 \times 1 = 440 $$
结果变成：
$$ \frac{440}{100} = 4.4 $$
误差在2%以内。

 例2

$$ \frac{18623}{1021} $$

分子分母位数不同时，左对齐；分子加减倍数时，如果只加减首位的几倍，误差会很大，则往后借位。

解：此时如果取三位数，则变成：
$$ \frac{186}{102} $$
分子变成100只需要减2，即减首位的2倍，误差太大，因此往后借一位，变成：
$$ \frac{1862}{1021} $$
分子减去前两位的2倍再减首位的1倍变成1000，分母：
$$ 1862 - 12 \times 2 - 1 \times 1 = 18253 $$
简化为：
$$ \frac{18253}{1000} = 18.253 $$

 例3

$$ \frac{96872}{11371} \approx \frac{969}{114} \approx \frac{969 - 96 - 27}{114 - 11 - 3} = \frac{846}{100} $$

解：114 变成100，需减14，前两位的1倍加第一位的三倍，分母不是1开头的可以通过乘几倍或除几倍的方式转换成，但是一步除法用首数法即可，不建议转换之后再使用错位加减法。

 例4

$$ \frac{83}{126} \approx \frac{X}{140} $$

与X最接近的值是（ ）。   
A.85    B.87    C.92   D.99 

解：C。原式左对齐，分母先补个0：
$$ \frac{830}{126} $$
分母变为140要+14=12×1+1×2，分子：
$$ 830 + 83 \times 1 + 8 \times 2 = 929 $$
之前分母借0扩大了10倍，于是要缩小10倍，即：
$$ 92.9 $$
C最接近。

 例5

$$ \frac{2643}{8921} =（ ） $$

A.0.285     B.0.290      C.0.296      D.0.299 

解：原式简化为：
$$ \frac{264}{892} $$
方法1：分子分母同时除以8，再计算；<br/> 方法2：通过加减法，将分母变成1000，再计算。

### 2. （A/B）×C 型（乘除混合运算）
约分数字从而简化运算，A和C可互换位置，
 例1

$$ \frac{54321}{1.137} \times 0.137 $$

将分母1.137和0.137约分简化计算。只考虑前3位，且小数点可以忽略，变为：
$$ \frac{543}{114} \times 137 $$
要将114变成137，只需加23（=前两位11x2+首位1x1），分母变为：
$$ 543 + 54 \times 2 + 5 \times 1 = 656 $$
原式变成：
$$ \frac{656}{137} \times 137 = 656 $$

 例2

$$ \frac{54321}{1+37\%} \times 37\% =（ ） $$

A.14234     B.14671      C.14956      D.20099 

解：原式简化为：
$$ \frac{543}{137} \times 370 $$
方法1：370拆分成123.3x3，再将137和123转化求解，记住不能忘记x3的部分；<br/> 方法2：直接通过加减法，将分母137 变成370，再计算，要判断出370 是137的几倍，稍显复杂。

 例3

$$ \frac{20582}{1.2231} \times 0.2231 $$

#### 解：

$$
\frac{20582 \times 2}{1.2231} \times \frac{0.2231}{2} = \frac{41164}{1.2231} \times 0.11155 \approx \frac{411}{122} \times 111 \approx \frac{38464}{111} \times 111 \approx 38464
$$


### 3. （A/B）×（C/D）型（乘除混合运算）
把其中一个分子分母消掉，变成一步除。

 例1

$$
\frac{4937}{2853} \times \frac{1.132}{1.246} = \frac{4937}{2853} \times \frac{1132}{1246} \approx \frac{4937}{2853} \times \frac{113}{124} \approx \frac{4937}{2853 + 280} \times \frac{113 + 11}{124} = \frac{4937}{3133},
$$
再一步除。把 $$ \frac{113}{124} $$ 分子分母消掉，分子+11（前两位的1倍），分母让2853+280（前3位的1倍再补个0，因为后式是取3位数，11相当于10%级，则前式四位数也要加10%级）=3133，原式变为$$ \frac{4937}{3133} $$，再用一步除法的方法计算。

 例2

$$ \frac{54321}{1+37\%} \times \frac{1+45\%}{27613} =（ ） $$

A.1.89     B.2.08      C.2.26      D.2.76 

解：原式简化为：
$$ \frac{543}{276} \times \frac{1.45}{1.37} \approx \frac{537}{114} \times 137 = 537 + 111 = 648 $$
再把分母137+8变成145，分子537再同样放大。

### 4. （A/B）±（C/D）型
把BD转化成一样的数值，变成同分母分数相加，再一步除。

 例1

$$ \frac{2538}{1.132} + \frac{4293}{1.273} $$

简化为：
$$ \frac{253}{113} + \frac{429}{127} $$
将113变为127，分子+14=11×1+1×3，分母253+（25×1+2×3）=284，原式变为：
$$ \frac{284+429}{127} $$

### 5. A×B型
转化成：
$$ \frac{A \times 100B}{100} $$

 例

$$ 569 \times 1.17 = 569 \times \frac{117}{100} \approx \frac{（569+56×2−5×3）×117}{100+10×2−1×3} \approx 666 $$

## 比较大小

例1

比较：
$$ \frac{37.5}{1.25} 和 \frac{38.5}{1.26} $$

解析：看成：
$$ \frac{375}{125} 和 \frac{385}{126} $$
将375/125分母化成和385/126分母一样：
$$ \frac{375}{125} \approx \frac{375+3}{126} \approx \frac{378}{126} < \frac{385}{126} $$
即：
$$ \frac{37.5}{1.25} < \frac{38.5}{1.26} $$

## 差分法

### 基本原理
差分法是一种快速比较两个分数大小的方法。其核心思想是通过比较“差分数”与“小分数”来判断“大分数”和“小分数”的大小关系。

### 规则
1. **大分数**：分子和分母都较大的一方。
2. **小分数**：分子和分母都较小的一方。
3. **差分数**：分子和分母相减得到的分数。

### 比较方法
- 如果差分数大于小分数，则大分数大于小分数。
- 如果差分数小于小分数，则大分数小于小分数。

### 例子
例1：比较 $\frac{13}{25}$ 和 $\frac{14}{27}$ 的大小

**解析**：
- 左边 $\frac{13}{25}$ 为小分数，右边 $\frac{14}{27}$ 为大分数。
- 计算差分数：$\frac{14 - 13}{27 - 25} = \frac{1}{2}$。

**结论**：
- 因为 $\frac{1}{2}$ 大于 $\frac{13}{25}$，所以 $\frac{14}{27}$ 大于 $\frac{13}{25}$。


例2：比较 $\frac{37.5}{1.25}$ 和 $\frac{38.5}{1.26}$ 的大小

**解析**：
- 将分数转换为整数形式：$\frac{375}{125}$ 和 $\frac{385}{126}$。
- 计算差分数：$\frac{385 - 375}{126 - 125} = \frac{10}{1} = 10$。

**结论**：
- 因为 $10$ 大于 $\frac{375}{125}$，所以 $\frac{38.5}{1.26}$ 大于 $\frac{37.5}{1.25}$。
